Теорема 1 Любая последовательность Коши действительных чисел сходится к пределу.
Как найти предел последовательности Коши?
Докажите: предел последовательности Коши an=limn→∞an.
Сходится ли всякая последовательность Коши?
Каждая вещественная последовательность Коши сходится. Теорема.
Все ли сходящиеся последовательности имеют предел?
Следовательно, для всех сходящихся последовательностей предел уникален. Обозначения Предположим, что {an}n∈N сходится. Тогда по теореме 3.1 предел единствен и поэтому мы можем записать его как l, скажем.
Может ли последовательность сходится к двум различным пределам?
это означает, что L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, а значит, последовательность не может иметь двух разных пределов. Для этого ϵ, поскольку an сходится к L1, имеем, что существует индекс N1 такой, что |an −L1| N1. В то же время an сходится к L2, а значит, существует индекс N2 такой, что |an −L2| N2.
