Пример: кольцо Z гауссовских целых чисел является конечно порожденным Z-модулем, а Z нётерово. По предыдущей теореме Z - нётерово кольцо. Теорема: Кольца частных нётеровы колец нётеровы.
Является ли Z X нётеровым кольцом?
Кольцо Z[X, 1 /X] нётерово, поскольку оно изоморфно Z[X, Y]/(XY − 1).
Почему Z нётеров?
Но идеалов в Z, содержащих I1, конечное число, так как они соответствуют идеалам конечного кольца Z/(a) по лемме 1.21. Следовательно, цепь не может быть бесконечно длинной, и, следовательно, Z нётерово.
Что такое нётеровская область?
Любое кольцо главных идеалов, такое как целые числа, нётерово, поскольку каждый идеал порождается одним элементомСюда входят главные идеальные области и евклидовы области. Область Дедекинда (например, кольца целых чисел) - это нётерова область, в которой каждый идеал порождается не более чем двумя элементами.
Как доказать, что кольцо нётерово?
Теорема Кольцо R нётерово тогда и только тогда если каждое непустое множество идеалов кольца R содержит максимальный элемент Доказательство ⇐=Пусть I1 ⊆ I2 ⊆··· восходящая цепочка идеалов R. Положим S={I1, I2, …}. Если каждое непустое множество идеалов содержит максимальный элемент, то S содержит максимальный элемент, скажем, IN.
