Когда абелева группа циклическая?

2024 Автор: Fiona Howard | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-10 06:42

Неформально группа называется циклической, если она порождена одним элементом. Он абелев, если умножение коммутирует. Группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом.

Является ли абелева группа циклической?

Все циклические группы абелевы, но абелева группа не обязательно является циклической. Все подгруппы абелевой группы нормальны. В абелевой группе каждый элемент сам по себе находится в классе сопряженности, а таблица символов включает степени одного элемента, известного как генератор группы.

Как доказать цикличность абелевой группы?

Доказательство

1. Пусть G циклическая группа с генератором g∈G. А именно, мы имеем G=⟨g⟩ (каждый элемент в G есть некоторая степень g.)
2. Пусть a и b произвольные элементы в G. Тогда существуют n, m∈Z такие, что a=gn и b=gm.
3. Отсюда получаем ab=ba для произвольных a, b∈G. Таким образом, G - абелева группа.

Как узнать, является ли группа циклической?

4 Ответы. Конечная группа является циклической тогда и только тогда, когда она имеет ровно одну подгруппу каждого делителя своего порядка. Таким образом, если вы найдете две подгруппы одного порядка, то группа не циклическая, и иногда это может помочь.

Что такое циклическая группа объясните на примере?

Например, (Z/6Z)^×={1, 5} , а поскольку 6 дважды является нечетным простым числом, это является циклической группой. … Когда (Z/nZ)^× является циклическим, его образующие называются первообразными корнями по модулю n. Для простого числа p группа (Z/pZ)^{× всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечного поля порядка p.}