Все циклические группы абелевы , но абелева группа не обязательно является циклической. Все подгруппы абелевой группы нормальны. В абелевой группе каждый элемент находится в классе сопряженности сам по себе, а таблица символов включает степени одного элемента, известного как генератор группы. Генератор группы - это набор элементов группы такой, что возможно повторное применение образующих на себе и друг на друге способно производить все элементы в группе. Циклические группы могут быть сгенерированы как мощности одного генератора. https://mathworld.wolfram.com › Генераторы групп
Генераторы групп -- от Wolfram MathWorld
Какая группа не является абелевой?
Неабелева группа, также иногда называемая некоммутативной группой, - это группа, некоторые элементы которой не коммутируют. Простейшей неабелевой группой является группа диэдра D3, имеющая шестой групповой порядок.
Все ли простые группы абелевы?
единственными простыми абелевыми группами являются группы простого порядка, которые все конечны. существуют бесконечные простые группы, которые, следовательно, неабелевы.
Как узнать, является ли группа абелевой?
Способы показать, что группа является абелевой
- Покажите, что коммутатор [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 двух произвольных элементов x, y∈G x, y ∈ G должен быть единицей.
- Покажите, что группа изоморфна прямому произведению двух абелевых (под)групп.
Какая группа всегда абелева?
Да, все циклические группы абелевы. Вот еще немного деталей, которые помогают прояснить, «почему» все циклические группы абелевы (то есть коммутативны). Пусть G - циклическая группа и g - образующая группы G.
