Последовательность в этом примере не была монотонной, но она сходится. Отметим также, что мы можем сделать несколько вариантов этой теоремы. Если {an} ограничено сверху и возрастает, то оно сходится, и аналогично, если {an} ограничено снизу и убывает, то оно сходится.
Все ли монотонные последовательности сходятся?
Последовательность (a ) монотонно возрастает, если a +1≥ a для всех n ∈ N. Последовательность является строго монотонно возрастающей, если в определении >. Аналогично определяются монотонные убывающие последовательности. ограниченная монотонная возрастающая последовательность является сходящейся.
Должен ли ряд быть монотонным, чтобы сходится?
Не все ограниченные последовательности, такие как (−1)n, сходятся, но если бы мы знали, что ограниченная последовательность монотонна, то это изменилось бы. если an ≥ an+1 для всех n ∈ N. Последовательность монотонна, если она либо возрастает, либо убывает. и ограничена, то она сходится.
Может ли неограниченная последовательность сходиться?
Поэтому неограниченная последовательность не может быть сходящейся.
Что значит, если последовательность не монотонна?
Если последовательность иногда возрастает, а иногда убывает и, следовательно, не имеет постоянного направления, это означает, что последовательность не является монотонной. Другими словами, немонотонная последовательность возрастает для одних частей последовательности и убывает для других.
