Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Как следствие, если все собственные значения матрицы различны, то их соответствующие собственные векторы охватывают пространство векторов-столбцов, которым принадлежат столбцы матрицы.
Как узнать, линейно ли независимы собственные векторы?
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. … Если есть повторяющиеся собственные значения, но они не являются дефектными (т. е. их алгебраическая кратность равна их геометрической кратности), выполняется тот же остовной результат.
Могут ли собственные векторы быть линейно зависимыми?
Если A представляет собой комплексную матрицу размера N × N с N различными собственными значениями, то любой набор из N соответствующих собственных векторов образует основу для CN. Доказательство. Достаточно доказать, что набор собственных векторов является линейно независимым … Поскольку каждый Vj=0, любое зависимое подмножество {Vj} должно содержать по крайней мере два собственных вектора.
Все ли собственные векторы одного и того же собственного значения линейно независимы?
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, всегда линейно независимы. Отсюда следует, что мы всегда можем диагонализовать матрицу размера n × n с n различными собственными значениями, поскольку она будет иметь n линейно независимых собственных векторов.
Когда собственные значения линейно независимы?
Если собственные значения A различны, оказывается, что собственные векторы линейно независимы; но если какое-либо из собственных значений повторяется, может потребоваться дальнейшее исследование. где β и γ не равны нулю одновременно.
