Если A является матрицей размера m × n, то ATA и AAT имеют одни и те же ненулевые собственные значения … Следовательно, Ax является собственным вектором AAT, соответствующим собственному значению λ. Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что каждое ненулевое собственное значение AAT является собственным значением ATA, тем самым завершая доказательство.
Являются ли собственные значения AAT и ATA одинаковыми?
Матрицы AAT и ATA имеют одинаковые ненулевые собственные значения. В разделе 6.5 показано, что собственные векторы этих симметричных матриц ортогональны.
АТА - это то же самое, что и ААТ?
Поскольку AAT и ATA действительно симметричны, их можно диагонализовать с помощью ортогональных матриц. Из предыдущего утверждения следует (поскольку геометрическая и алгебраическая кратности совпадают), что AAT и ATA имеют одни и те же собственные значения.
Имеет ли ATA различные собственные значения?
Правда. Например, если A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , то характеристическое уравнение det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 не имеет повторяющихся корней. Следовательно, все собственные значения A различны и A диагонализируема. 3.35. Для любой вещественной матрицы A матрица AtA всегда диагонализируема.
Могут ли разные собственные векторы иметь одно и то же собственное значение?
Два различных собственных вектора, соответствующих одному и тому же Собственное значение, всегда линейно зависимы. Два различных собственных вектора, соответствующие одному и тому же собственному значению, всегда линейно зависимы.
